open wikipedia design.
Стояча хвиля - явище інтерференції хвиль, що поширюються в протилежних напрямках, при якому перенесення енергії ослаблений або відсутній [1] .
Стояча хвиля (електромагнітна) - періодична зміна амплітуди напруженості електричного і магнітного полів вздовж напрямку поширення, викликане інтерференцією падаючої і відбитої хвиль [2] .
Стояча хвиля - коливальний (Хвильової) процес в розподілених коливальних системах з характерним стійким в просторі розташуванням чергуються максимумів ( пучностей ) І мінімумів (вузлів) амплітуди . Такий коливальний процес виникає при інтерференції декількох когерентних хвиль.
Наприклад, стояча хвиля виникає при відображенні хвилі від перешкод і неоднорідностей в результаті взаємодії (інтерференції) падаючої і відображеної хвиль. На результат інтерференції впливають частота коливань, модуль і фаза коефіцієнта відбиття, напрямку поширення падаючої і відбитої хвиль один щодо одного, зміна або збереження поляризації хвиль при відображенні, коефіцієнт загасання хвиль в середовищі поширення. Строго кажучи, стояча хвиля може існувати тільки при відсутності втрат в середовищі поширення (або в активному середовищі) і повному відображенні падаючої хвилі. У реальному ж середовищі спостерігається режим змішаних хвиль, оскільки завжди присутня перенесення енергії до місць поглинання і випромінювання. Якщо при падінні хвилі відбувається її повне поглинання, то відбита хвиля відсутня, інтерференції хвиль немає, амплітуда хвильового процесу в просторі постійна. Такий хвильовий процес називають хвилею, що біжить .
Прикладами стоячій хвилі можуть служити коливання струни , Коливання повітря в органної трубі [3] ; в природі - хвилі Шумана . Для демонстрації стоячих хвиль в газі використовують трубу Рубенса .
Двовимірна стояча хвиля на пружному диску. Основна мода.
Більш висока мода стоячій хвилі на пружному диску.
У разі гармонійних коливань в одновимірної середовищі стояча хвиля описується формулою:
u = u 0 cos k x cos (ω t - φ) {\ displaystyle u = u_ {0} \ cos kx \ cos (\ omega t- \ varphi)} 
де u - обурення в точці х в момент часу t, u 0 {\ displaystyle u_ {0}} 
Стоячі хвилі є рішеннями хвильових рівнянь . Їх можна уявити собі як суперпозицію хвиль, що поширюються в протилежних напрямках.
При існуванні в середовищі стоячій хвилі, існують точки, амплітуда коливань в яких дорівнює нулю. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Точки, в яких коливання мають максимальну амплітуду, називаються пучностями .
Стоячі хвилі виникають в резонаторах . Кінцеві розміри резонатора накладають додаткові умови на існування таких хвиль. Зокрема, для систем кінцевих розмірів хвильової вектор (а отже, довжина хвилі ) Може приймати лише певні дискретні значення . Коливання з певними значеннями хвильового вектора називаються модами .
Наприклад, різні моди коливань затиснутої на кінцях струни визначають її основний тон і обертони .
Математичний опис стоячих хвиль [ правити | правити код ]
В одновимірному випадку дві хвилі однакової частоти, довжини хвилі і амплітуди, що поширюються в протилежних напрямках (наприклад, назустріч один одному), будуть взаємодіяти, в результаті чого може виникнути стояча хвиля. Наприклад, гармонійна хвиля, поширюючись вправо, досягаючи кінця струни, виробляє стоячу хвилю. Хвиля, що відбивається від кінця, повинна мати таку ж амплітуду і частоту, як і падаюча хвиля.
Розглянемо падаючу і відбиту хвилі у вигляді:
y 1 = y 0 sin (k x - ω t) {\ displaystyle y_ {1} \; = \; y_ {0} \, \ sin (kx- \ omega t)} 
де:
Тому результуюче рівняння для стоячої хвилі y буде у вигляді суми y1 і y2:
y = y 0 sin (k x - ω t) + y 0 sin (k x + ω t). {\ Displaystyle y \; = \; y_ {0} \, \ sin (kx- \ omega t) \; + \; y_ {0} \, \ sin (kx + \ omega t).}
Використовуючи тригонометричні співвідношення, це рівняння можна переписати у вигляді:
y = 2 y 0 cos (ω t) sin (k x). {\ Displaystyle y \; = \; 2 \, y_ {0} \, \ cos (\ omega t) \; \ sin (kx).}
Якщо розглядати моди x = 0, λ / 2, 3 λ / 2,. . . {\ Displaystyle x = 0, \ lambda / 2,3 \ lambda / 2, ...} 
Для того, щоб отримати стоячі хвилі як результат рішення однорідного диференціального хвильового рівняння (Даламбера)
необхідно відповідним чином задати його граничні умови (наприклад, закріпити кінці струни).
У загальному випадку неоднорідного диференціального рівняння
де f 0 {\ displaystyle f_ {0}} 
- Джо Вулф «Струни, стоячі хвилі і гармоніки»