Операції над матрицями: множення, додавання, віднімання. Як вирішувати, з чого почати

1. визначення матриці
2. Операції додавання і віднімання матриць
3. Множення матриці на число
4. Операція множення матриць
5. Операція транспонування матриці
6. визначник матриці

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриці і основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити з матрицями. З чого почати знайомство з матрицями? Звичайно, з самого простого - визначень, основних понять і найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють всі, хто приділить їм хоча б трохи часу!

визначення матриці

Матриця - це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою - таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються прописними літерами. Наприклад, матриця A, матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядка і матриці-стовпці, звані векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків і стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицю розміру m на n, де m - кількість рядків, а n - кількість стовпців.

Елементи, для яких i = j (a11, a22, ..) утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити з матрицями? Складати / віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції додавання і віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати тільки матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того ж розміру. Складати (або віднімати) матриці просто - достатньо лише скласти їх відповідні елементи. Наведемо приклад. Виконаємо додавання двох матриць A і В розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

Множення матриці на число

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожний її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться не всі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити один на одного тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. При цьому кожен елемент отриманої матриці, що стоїть в i-му рядку і j- м стовпці, буде дорівнює сумі добутків відповідних елементів в i-му рядку першого множника і j-му стовпці другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад з реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці - це операція, коли відповідні рядки і стовпці міняються місцями. Наприклад, транспоніруем матрицю A з першого прикладу:

визначник матриці

Визначник, про ж детермінант - одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди придумали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У підсумку, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що, останній ривок!

Визначник - це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна для вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут вже складніше, але впоратися можна.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі добутків елементів головної діагоналі і творів елементів лежать на трикутниках з межею паралельної головній діагоналі, від якої віднімається твір елементів побічної діагоналі і твір елементів лежать на трикутниках з межею паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів на практиці доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції над матрицями. Звичайно, в реальному житті можна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь або ж навпаки - зіткнутися з набагато більш складними випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс . Звертайтеся по допомогу, отримуйте якісне і докладний рішення, насолоджуйтеся успіхами в навчанні і вільним часом.