Домовившись про систему координат, можна визначити відстань між двома точками. В одновимірному просторі відстань між двома точками - це довжина з'єднує їх відрізка. Розглянемо точки P і Q. Відстань між ними, яке ми позначимо як d (Р, Q), буде обчислюватися як абсолютна величина різниці: d (Р, Q) = | PQ |. 
Ми пам'ятаємо, що абсолютна величина числа дорівнює позитивному значенню цього числа. Наприклад, | 3 | = 3 і | -3 | = 3. Для того, щоб відстань була визначено однозначно, необхідно, щоб d (Р, Q) = d (Q, P), тобто величина відстані між точками не повинна залежати від порядку перерахування цих точок. 
Крім того, відстань завжди має бути позитивною величиною. Саме тому відстань обчислюють за допомогою модуля. Наприклад, відстань між точками 4 і 9 буде визначатися не як: 4-9 = -5, а за нашим визначенням: d (4,9) = | 4-9 | = | -5 | = 5.
Давайте подивимося, як визначається відстань між двома точками в двовимірному просторі, тобто між точками на площині. Припустимо, що у нас є дві точки P і Q, координати яких задані як (a, b) і (c, d).
Розташувавши обидві точки на декартовій площині, ми можемо побудувати прямокутний трикутник РОQ. Довжини катетів цього трикутника відомі: РВ = ca і OQ = db.
Щоб знайти значення гіпотенузи РQ, застосуємо теорему Піфагора:
$ (PQ) ^ 2 = (PO) ^ 2 + (OQ) ^ 2 = (ca) ^ 2 + (db) ^ 2 $, звідки $ d (PQ) = \ sqrt {(ca) ^ 2 + (db ) ^ 2} $.
Таким чином, ми отримали формулу для обчислення відстані між двома будь-якими точками на площині. Наприклад, відстань між точками Р (3, 5) і Q (-2,7) відповідно до цієї формули обчислюється так:
$ D (PQ) = \ sqrt {(-2-3) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = \ sqrt {(-5) ^ 2 + (2) ^ 2} = \ sqrt {25 + 4 } = \ sqrt {29} $.
Подивимося, що станеться в тривимірному просторі. Припустимо, що ми хочемо обчислити відстань між точками Р (a, b, c) і Q (d, e, f).
Тут ми також будемо спиратися на теорему Піфагора, але застосуємо її в два послідовних етапи.
Відстань, яку нам потрібно знайти, є діагоналлю в паралелепіпеді (це фігура, схожа на взуттєву коробку). Два прямокутних трикутника, до яких ми будемо застосовувати теорему Піфагора, зафарбовані на малюнку різними кольорами. Фіолетовий трикутник розташований горизонтально, жовтий - вертикально. В фіолетовому трикутнику значення катетів такі: | da | і | eb |. Тому довжина гіпотенузи обчислюється як $ (da) ^ 2 + (eb) ^ 2 $
Розглянемо тепер жовтий прямокутний трикутник. Довжину одного з двох його катетів ми тільки що розрахували. Інший катет, вертикальний, має довжину | fc |. Знову застосуємо теорему Піфагора і отримаємо шукане значення гіпотенузи: $ \ sqrt {[\ sqrt {(da) ^ 2 + (eb) ^ 2}] ^ 2 + (fc) ^ 2} = \ sqrt {(da) ^ 2 + (eb) ^ 2 + (fc) ^ 2} $.
Таким чином, ми отримали формулу для обчислення відстані між двома будь-якими точками тривимірного простору:
$ D (PQ) = \ sqrt {(da) ^ 2 + (eb) ^ 2 + (fc) ^ 2} $.
Наприклад, відстань між точками Р (2, -1,6) і Q (1, 5, 3) дорівнюватиме:
$ D (PQ) = \ sqrt {(1-2) ^ 2 + (5 - (- 1)) ^ 2 + (3-6) ^ 2} = \ sqrt {(- 1) ^ 2 + 6 ^ 2 + (- 3) ^ 2} = \ sqrt {1 + 36 + 9} = \ sqrt {46} $.
Цей спосіб визначення відстані між точками можна застосовувати до просторів будь-якого вимірювання. Зазвичай для n-мірного простору
відстань між точками $ Р (x_1, x_2, ..., x_n) $ і $ Q (y_1, y_2, ..., y_n) $ задається формулою:
$ D (PQ) = \ sqrt {(x_1-y_1) ^ 2 + ... + (x_n-y_n) ^ 2} $.
Зауважимо, що застосовуючи теорему Піфагора для отримання формул для обчислення відстані між двома точками в дво- і тривимірному про-мандрівок, ми отримали узагальнення даної теореми для n-мірних просторів, де n> 2.
Матеріали по темі:
Поділитися з друзями: